Une découverte dans le grenier : des tables logarithmiques

Lire la scénette suivante, puis rédiger un court discours pour expliquer le fonctionnement des tables logarithmiques.

En arrivant au lycée ce matin, Jiro est interpellé par Amandine.

Amandine : Regarde Jiro, ce que j'ai trouvé dans le grenier de mon grand-père !

Elle lui montre un vieux livre. On dirait un manuel de mathématiques, mais dedans il y a seulement des tableaux avec de longues listes de nombres.

Jiro : Je n'ai jamais vu ça. Qu'est-ce que cela représente ?

Amandine : C'est une table de logarithmes !

Jiro regarde attentivement les pages remplies de tableaux de nombres.

Jiro : Comment ça une table de logarithmes ? Qu'est-ce que cela veut dire ?

Amandine : Mon grand-père m'a expliqué. C'est pour faire du calcul, et notamment, des produits et des quotients. Par exemple, est-ce que tu peux calculer le produit de \(1~206\) et `345` ?

Voyant que Jiro s'apprête à sortir sa calculatrice, elle l'en empêche.

Amandine : Non, non, sans calculatrice !

Jiro s'installe à une table, prend une feuille pour poser le calcul et, après quelques minutes de concentration, il lui montre le résultat.

Jiro : C'est long ! Pourquoi je ne pouvais pas le faire à la calculatrice ?

Amandine : Mais justement ! C'est le livre de mon grand-père ! Est-ce que tu penses qu'à l'époque, ils avaient déjà des calculatrices pour faire les calculs à leur place ?

Jiro : J'imagine que non... Ils devaient donc tout le temps poser les calculs et passer tellement de temps à les effectuer...

Amandine secoue la tête en agitant le vieux livre d'un air triomphal.

Amandine : Grâce à ce livre, les calculs peuvent être simplifiés. Un logarithme est un procédé qui va transformer un produit en somme. Et tout le monde sait qu'une somme est bien plus facile à calculer qu'un produit !

Jiro : Quoi ? Mais comment est-ce possible ?

Amandine : Regarde ! Je vais utiliser le logarithme décimal, qui est noté log.

Amandine farfouille dans le livre et tourne les pages. Satisfaite, elle note \(\text{log}(1~206) \approx 3{,}08135\) et \(\text{log}(345) \approx 2{,}53782\).

Amandine : J'ai converti mes deux facteurs en utilisant le logarithme. Et maintenant je vais les additionner : \(3{,}08135 + 2{,}53782 = 5{,}61917\). 

Jiro : C'est vrai que cela se fait bien plus vite que la multiplication !

Amandine reprend le livre et parcourt les différents tableaux.

Amandine : Et pour conclure, j'utilise les tableaux dans l'autre sens pour trouver le logarithme décimal le plus proche de \(5{,}61917\)... Et c'est le logarithme de \(416~073\) environ. Donc le produit des deux nombres de départ est proche de \(416~073\).

Jiro : Effectivement ! J'avais trouvé \(416~070\) !

Amandine : C'est une valeur approchée, car les deux logarithmes que j'avais écrits étaient des arrondis à \(5\) chiffres après la virgule.

Jiro : En résumé, avant les calculatrices, pour obtenir une valeur approchée d'un grand produit, on faisait une somme de logarithmes.

Amandine : Tout à fait ! Si on voulait calculer le produit \(a \times b\), avec \(a\) et \(b\) deux nombres strictement positifs, comme \(\text{log}(a\times b) = \text{log}(a) +\text{log}(b)\), on trouvait dans les tables les valeurs approchées \(\text{log}(a)\) et \(\text{log}(b)\), qu'on additionnait à la main ; et ensuite on cherchait la valeur \(\text{log}(a\times b)\) dans la table qui nous permettait de remonter à une valeur approchée de \(a\times b\).

Jiro : Incroyable ! Et tu disais que cela marchait aussi pour les quotients ?

Amandine : Hé oui ! Dans ce cas-là, le quotient est transformé en différence par le logarithme : \(\text{log}\left(\dfrac{a}{b}\right) = \text{log}(a) -\text{log}(b)\) et il suffit de soustraire nos deux valeurs \(\text{log}(a)\) et \(\text{log}(b)\) afin de nous permettre de trouver ensuite grâce à la table une valeur approchée de \(\dfrac{a}{b}\).

Jiro : C'est fou ! J'avoue que je préfère quand même nos calculatrices...

Remarque
Les premières calculatrices miniaturisées ont été commercialisées à la fin des années 1950. Cela fait donc moins de quatre générations d'écoliers qui peuvent en profiter !